Question

如图，地上有一圆柱，在圆柱下底面的A点处有一蚂蚁，它想沿圆柱表面爬行．吃到上底面上与A点相对的B点处的食物（π的近似值取3，以下同）．
（1）当圆柱的高h=12厘米，底面半径r=3厘米时，蚂蚁沿侧面爬行时最短路程是多少；
（2）当圆柱的高h=3厘米，底面半径r=3厘米时，蚂蚁沿侧面爬行也可沿AC到上底面爬行时最短路程是多少；
（3）探究：当圆柱的高为h，圆柱底面半径为r时，蚂蚁怎样爬行的路程最短，路程最短为多少？

Answer 1

解：将圆柱体展开，连接AB，
∵底面半径r=3厘米，
∴CB=×2π×3=3π≈9厘米，
∵圆柱的高h=12厘米，即AC=12厘米，
∴AB===15厘米．
答：蚂蚁沿侧面爬行时最短路程是15厘米．
（2）当蚂蚁沿侧面爬行同（1）的方法：
∵AC=3，=3π≈9，
∴AB==3．
当蚂蚁沿AC到上底面，再沿直径CB爬行，有AC+BC=3+6=9．
因为＞9，
所以最短路程是经AC到上底面，再沿直径CB爬行的总路程为9．
（3）在侧面，沿AB爬行时，S₁=，沿AC再经过直径CB时，
则S₂=h+2r．
当S₁=S₂时，．
整理，得4h=（π²-4）r，由于π取3，
所以4h≈5r．
当时，两种爬行路程一样．
当S₁＞S₂时，，整理，得4h＜（π²-4）r
当π取3时，有h＜，所以当h＜时，沿AC再经过直径CB到点B时所走路程最短．
同理，当h＞时，沿侧面AB走路程最短．
当h＜r时，沿AC到CB走路程最短为h+2r．
当h＜r时，沿侧面AB走或沿AC到CB走路程一样长为或h+2r．
当h＜r时，沿侧面AB走路程最短为．
当h＜r时，沿AC到CB走路程最短为h+2r．
分析：（1）首先画出圆柱的平面展开图，求出CB长，再利用勾股定理可求出AB的长，即可求出蚂蚁沿侧面爬行时最短的路程．
（2）先根据（1）的方法求出AB的长，再根据蚂蚁沿AC到上底面，再沿直径CB爬行时，求出AC+BC的长，即可求出蚂蚁沿侧面爬行也可沿AC到上底面爬行时最短路程．
（3）先根据在侧面沿AB爬行时，得出路程S₁，再沿AC再经过直径CB时，得出路程S₂，再分两种情况讨论，当S₁=S₂时两种爬行路程一样和当S₁＞S₂时，得出4h＜（π²-4）r，再分别六种情况进行讨论h和r之间的关系，得出蚂蚁怎样爬行的路程最短．
点评：此题主要考查了平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．