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    如图，已知直线y=-
    1
    2
    x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，抛物线y=-
    1
    2
    x2+bx+c经过点A、B，P为直线AB上的一个动点，过P作x轴的垂线与抛物线交于C点．
    （1）抛物线的解析式；
    （2）设抛物线与x轴另一个交点为D，连接AD，证明：△ABD为直角三角形；
    （3）在直线AB上是否存在一点P，使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）令一次函数y=-
    1
    2
    x+2中x=0，求出对应y的值，即为A的纵坐标，令y=0，求出对应x的值，即为B的横坐标，确定出A和B的坐标，将A和B的坐标代入y=-
    1
    2
    x2+bx+c中，得到关于b与c的方程组，求出方程组的解集得到b和c的值，确定出抛物线的解析式；
    （2）连接AD，如图所示，由抛物线的解析式，令y=0求出x的值，得到D的横坐标，确定出OD的长，在直角三角形AOD中，由AO及OD的长，利用勾股定理求出AD的长，再由OD+OB求出BD的长，在直角三角形AOB中，由OA与OB的长，利用勾股定理求出AB的长，由AD，AB及BD的长，得到BD2=AB2+AD2，利用勾股定理的逆定理得到三角形ABD为直角三角形；
    （3）存在，由P为直线上的点设出点P的坐标，P与C的横坐标相同，进而由C在抛物线上确定出C的坐标，分三种情况考虑：当P在第一象限时，画出相应的图形，如图所示，根据平行四边形的对边相等，得到OA=CP，由OA的长得到CP的长，即为C与P纵坐标之差，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，确定出此时P的坐标；当P在第二象限时，如图所示，根据平行四边形的对边相等得到OA=PC，由OA的长得到CP的长，即为P与C的纵坐标之差，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，确定出此时P的坐标；当P在第四象限时，如图所示，根据平行四边形的对边相等得到OA=PC，由OA的长得到CP的长，即为P与C的纵坐标之差，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，确定出此时P的坐标，综上，得到所有满足题意的P的坐标．
    解答：解：（1）∵直线y=-
    1
    2
    x+2与x轴交于点B，
    ∴令y=0得-
    1
    2
    x+2=0，解得x=4，
    ∴点B的坐标为（4，0），
    ∵直线y=-
    1
    2
    x+2与y轴交于点A，
    ∴令x=0，解得y=2，
    ∴点A的坐标为（0，2），
    ∵抛物线y=-
    1
    2
    x2+bx+c经过点A、B，
    ∴把（0，2），（4，0）分别代入y=-
    1
    2
    x2+bx+c得：
    c=2
    -8+4b+c=0
    ，
    解得
    b=
    3
    2
    c=2
    ，
    ∴抛物线的解析式为y=-
    1
    2
    x2+
    3
    2
    x+2；

    （2）连接AD，如图所示：

    ∵抛物线与x轴另一个交点为D，
    ∴令y=0得-
    1
    2
    x2+
    3
    2
    x+2=0，解得x1=4，x2=-1，
    又点D在x轴的负半轴上，
    ∴点D的坐标为（-1，0），
    在直角三角形AOB中，OA=2，OB=4，
    根据勾股定理得：AB2=22+42=20，
    在直角三角形AOD中，OA=2，OD=1，
    根据勾股定理得：AD2=22+12=5，
    又BD2=（OD+OB）2=（1+4）2=25，
    ∴BD2=AB2+AD2，
    则△ABD为直角三角形；

    （3）设点P的坐标为（x，-
    1
    2
    x+2），
    ∵PC⊥x轴，
    ∴点C的横坐标为x，又点C在抛物线上，
    ∴点C（x，-
    1
    2
    x2+
    3
    2
    x+2），
    ①当点P在第一象限时，假设存在这样的点P，使AOPC为平行四边形，

    则OA=PC=2，即-
    1
    2
    x2+
    3
    2
    x+2-（-
    1
    2
    x+2）=2，
    化简得：x2-4x+4=0，
    解得x=2或x=-2（舍去）
    把x=2代入y=-
    1
    2
    x+2=1，
    则点P的坐标为（2，1）；
    ②当点P在第二象限时，假设存在这样的点P，使AOCP为平行四边形，

    则OA=PC=2，即-
    1
    2
    x+2-（-
    1
    2
    x2+
    3
    2
    x+2）=2，
    化简得：x2-4x-4=0，
    解得：x=2+2
    		2
    （舍去）或x=2-2
    		2
    ，
    把x=2-2
    		2
    代入y=-
    1
    2
    x+2=1+
    		2
    ，
    则点P的坐标为（2-2
    		2
    ，1+
    		2
    ）；
    ③当点P在第四象限时，假设存在这样的点P，使AOCP为平行四边形，

    则OA=PC=2，即-
    1
    2
    x+2-（-
    1
    2
    x2+
    3
    2
    x+2）=2，
    化简得：x2-4x-4=0，
    解得：x=2+2
    		2
    或x=2-2
    		2
    （舍去），
    把x=2+2
    		2
    代入y=-
    1
    2
    x+2=1-
    		2
    ，
    则点P的坐标为（2+2
    		2
    ，1-
    		2
    ），
    综上，使以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形，
    满足的点P的坐标为（2，1）；（2-2
    		2
    ，1+
    		2
    ）；（2+2
    		2
    ，1-
    		2
    ）．
    点评：此题属于二次函数的综合题，结合了平行四边形的性质，二元一次方程组，及坐标系的有关知识为一体，考查了学生综合解决问题的能力，同时体现了分类讨论的思想，分类思想是一种重要的数学思想方法，在分类讨论、分情况证明数学命题时，必须认真审题，全面考虑．做到不重不漏，一次分类必须按照统一标准进行，分出的每一部分都是相互独立的，分类思想一般根据数量差异与位置差异进行分类．
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    相等
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    ；
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    2
    3
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    8
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