Question

如图，△ABC中，点E是AB、BC的垂直平分线的交点，AE的延长线交BC于点D，AB=AD，AE=BD，求∠DAC的度数．

Answer 1

分析：由线段垂直平分线的性质可得出AE=BE=CE，由等边对等角可知∠EAB=∠EBA，∠EBD=∠ECB，∠EAC=∠ECA，再根据AE=BD，可知BE=BD，由等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得∠BAC=∠BCA，继而证得AB=BC，然后设∠BAD=x，由AE=BE可知∠AEE=x，根据∠BED是△ABE的外角，可知∠BED=2x，由三角形内角和定理可求出x的度数，再根据等腰三角形的性质即可得出结论．

解答：解：∵点E是AB，BC的垂直平分线的交点，
∴AE=BE=CE，
∴∠EAB=∠EBA，∠EBD=∠ECB，∠EAC=∠ECA
∵AE=BD，
∴BE=BD，
∴∠BED=∠BDE
又∵AB=AD，
∴∠ABD=∠BDE，
∴∠BED=∠ABD
∵∠BED=∠EAB+∠ABE，∠ABD=∠ABE+∠DBE，
∴∠EAB=∠EBD
又∵∠EAB=∠EBA，∠EBD=∠ECB，
∴∠EAB=∠ECB，
∴∠EAC+∠EAB=∠ECB+∠ECA，即∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC；
设∠BAD=x，
∵AE=BE，
∴∠AEE=x，
∵∠BED是△ABE的外角，
∴∠BED=2x，
∵BE=BD，
∴∠ADB=∠BED=2x，
∵AB=AD，
∴∠ABD=2x，
∴∠BAD+∠ABD+∠ADB=x+2x+2x=180°，解得x=36°，
∴∠ABD=72°，
∵AB=BC，
∴∠BAC=

180°-∠ABD

2

=54°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=54°-36°=18°．

点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，在解答此类题目时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件．