Question

【题目】如图，抛物线经过点和点，与轴交于点.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点是直线上方抛物线上一动点，过点作于点，平行于轴，交于点，设点的横坐标为，试求出线段的最大值，并写出此时点的坐标；

（3）抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）点的坐标为或.

【解析】

（1）利用待定系数法求解即可；

（2）如图1，延长交轴于点，先利用锐角三角函数的知识得到MD与ME的关系式，把求MD的最大值转化为求ME的最大值，再利用ME=MF－EN得出ME关于m的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可求出ME的最大值，问题即得解决；

（3）如图2，作点关于轴的对称点，先证明是等腰三角形，得=∠ABC，当点P在x轴上方时，过点作交轴于点，则，于是只要求出直线的解析式，再与抛物线的解析式联立组成方程组，解方程组即得符合条件的点P；当点P在x轴下方时，作点关于轴的对称点，作直线，再求直线BH与抛物线的交点即得符合条件的另一个点P.

解：（1）将点和点代入，得

.解得

∴抛物线的解析式为.

（2）如图1，延长交轴于点，

则，

∵，

∴.

∵A（0,4）

∴.

∴.

∴.

∴当线段最长时，最长.

∵点的横坐标为，∴点的坐标为.

∵点，，∴直线的解析式为.

∴，∴.

∴当时，线段取最大值为.

∴相应的MD的最大值为，此时点M的坐标为.

（3）点的坐标为或.

理由如下：如图2，作点关于轴的对称点，∵OB=3，OA=4，∴AB=5，

∵=8，∴BC=5=AB，∴是等腰三角形，∴=∠ABC，

当点P在x轴上方时，过点作交轴于点，则，∴直线BG与抛物线的交点即为符合条件的点P.

此时，∴点，∴直线的解析式为.

联立方程组，解得，（舍去），

∴点P的坐标为（5，4）；

当点P在x轴下方时，作点关于轴的对称点，作直线，则，可得另一直线的解析式为.

解方程组，得，（舍去），

∴点P的坐标为（11，－7）；

综上，抛物线上存在一点，使得，且点P的坐标为（5，4）或（11，－7）.