Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点为c（1，1）且过原点O，过抛物线上一点P（x，y）向直线y=

5

4

作垂线，垂足为点M．
（1）求a、b、c值．
（2）在直线x=1上有一点F（1、

3

4

），是否存在点P，使以PM为底边的△PFM是等腰三角形？若存在，求点P的坐标，并证明此时△PFM为等边三角形；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知条件可以得出，图象过（0，0）点，可求出c的值，再根据顶点为c（1，1），得出-

b

2a

=1，

4ac-b2

4a

=1，即可求出a、b、c值；
（2）根据（1）中可知解析式为：y=-x²+2x，可设P（x，-x²+2x），表示出M，D的坐标，可得出x的值，进而可判断出△PFM为等边三角形．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点为c（1，1）且过原点O，
∴-

b

2a

=1，

4ac-b2

4a

=1，且c=0，
解得：a=-1，b=2，c=0；

（2）存在P₁（1+

3

2

，

1

4

）P₂（1-

3

2

，

1

4

），
作FD⊥PM，
由（1）知y=-x²+2x可设P（x，-x²+2x），M（x，

5

4

），D（x，

3

4

）
依题意得：MD=PD，
∴

5

4

-

3

4

=

3

4

-（-x²+2x），
X=1±

3

2

，
∴p₁=（1+

3

2

，

1

4

），p₂（1-

3

2

，

1

4

），
∴Rt△FDM中，FD=

3

2

，MD=

1

2

，
∴tan∠FMD=

3

，
∴∠FMD=60°，
又∵FM=FP，
∴△PFM是等边三角形．

点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和等边三角形的判定方法等知识，题目综合性较强，依据题意表示出M，D的坐标，再得到MD=PD是解决问题的关键．