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已知:如图,抛物线的顶点为点D,与y轴相交于点A,直线y=ax+3与y轴也交于点A,矩形ABCO的顶点B在精英家教网此抛物线上,矩形面积为12,
(1)求该抛物线的对称轴;
(2)⊙P是经过A、B两点的一个动圆,当⊙P与y轴相交,且在y轴上两交点的距离为4时,求圆心P的坐标;
(3)若线段DO与AB交于点E,以点D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似,如果有可能,请求出点D坐标及抛物线解析式;如果不可能,请说明理由.
分析:(1)根据已知的直线解析式,可得到点A的坐标,进而可利用矩形的面积求出OC、AB的长,即可得到B、C的坐标,由于AB∥x轴,且同时在抛物线的图象上,根据这两点的坐标,即可确定抛物线的对称轴方程;
(2)由于⊙P同时经过点A、B,根据抛物线和圆的对称性知,圆心P必在抛物线的对称轴上,由此可确定点P的横坐标;由于⊙P与y轴两交点的距离正好等于AB的长,根据圆心角、弦的关系,即可得到P到y轴的距离应该等于P到AB的距离,由此可确定点P的纵坐标,即可得到点P的坐标;
(3)假设两个三角形相似,显然∠DAO>∠DAE,因此只有一种情况:∠DAE=∠DOA,可过D作DM⊥y轴,作DN⊥x轴,即可得到∠DAM=∠DON,易证得△DAM∽△DON,设出点D的纵坐标,然后表示出AM、DN的长,进而根据相似三角形得到的比例线段求出点D的纵坐标,也就得到了点D的坐标,而后可利用待定系数法求出该抛物线的解析式.
解答:解:(1)∵直线y=ax+3与y轴交于点A,
∴点A坐标为(0,3),
∴AO=3,
∵矩形ABCO的面积为12,
∴AB=4,
∴点B的坐标为(4,3),
∴抛物线的对称轴为直线x=2;
                                                                     
(2)∵⊙P经过A、B两点,
∴点P在直线x=2上,即点P的坐标为(2,y),
∵⊙P与y轴相交,且在y轴上两交点的距离为4,
又∵AB=4,
∴点P到AB的距离等于点P到y轴的距离为2,
∴四边形PEAF是正方形,
∴PE=2,
∵OA=3,
∴OF=1,
同理:AM=2,
∴OM=5,
∴点P的坐标为(2,1)或(2,5);

(3)①当△DAE∽△DAO,则∠DAE=∠DAO,与已知条件矛盾,此情况不成立.
过点D作DM⊥y轴,垂足为点M,DN⊥x轴,垂足为点N,
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设点D坐标为(2,y),
则ON=DM=2,DN=OM=y,AM=y-3;
②当△DAE∽△DOA,则∠DAE=∠DOA,
∴∠DAM=∠DON,
∵∠DMA=∠DNO=90°,
∴△DAM∽△DON,
ON
AM
=
DN
DM

2
y-3
=
y
2

∴y2-3y-4=0,
解得:y1=-1(舍),y2=4,
∴点D坐标为(2,4).
由顶点坐标为(2,4),设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+4,
将(0,3)代入,得a=-
1
4

∴抛物线解析式为y=-
1
4
(x-2)2+4
点评:此题考查了二次函数、圆的对称性,圆心角、弧、弦的关系,相似三角形的判定和性质,二次函数解析式的确定等重要知识,涉及知识点较多,难度较大.
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(2013•峨眉山市二模)已知,如图,抛物线的顶点为C(1,-2),直线y=kx+m与抛物线交于A、B两点,其中OA=3,B点在y轴上.点P为线段AB上的一个动点(点P与点A、B不重合),过点P且垂直于x轴的直线与这条抛物线交于点E.
(1)求直线AB的解析式;
(2)设点P的横坐标为x,求点E坐标(用含x的代数式表示);
(3)点D是直线AB与这条抛物线对称轴的交点,是否存在点P,使得以点P、E、D为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在请说明理由.

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(1)求抛物线的顶点E的坐标;
(2)求直线AG的函数解析式;
(3)点D为弧AO的中点,CD交AO于点F,延长CD交AG于点G,求FG的长.

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