Question

如图，已知抛物线y=-

2

3

x²+

4

3

x+2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于Q．
（1）求点B和点C的坐标；
（2）设当点M运动了x（秒）时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知抛物线解析式，令y=0，x=0，可求B、C两点坐标；
（2）设点P的坐标为P（x，y），由S_{四边形OBPC}=S_△OPC+S_△OPB可列出S与x的函数关系式，由于B（3，0），∴0≤x≤3；
（3）∵BQ为一腰，有两种可能：①BQ=DQ，②BQ=BD=2，都可由相似三角形的对应边的比，求出OM、MQ的长．

解答：解：（1）把x=0代入y=-

2

3

x²+

4

3

x+2得点C的坐标为C（0，2）
把y=0代入y=-

2

3

x²+

4

3

x+2得点B的坐标为B（3，0）

（2）连接OP，设点P的坐标为P（x，y）
S_{四边形OBPC}=S_△OPC+S_△OPB=

1

2

×2×x+

1

2

×3×y
=x+

3

2

（-

2

3

x²+

4

3

x+2）
∵点M运动到B点上停止，
∴0≤x≤3
∴S=-（x-

3

2

）²+

21

4

（0≤x≤3）

（3）存在．
BC=

OB2+OC2

=

13

①若BQ=DQ
∵BQ=DQ，BD=2
∴BM=1
∴OM=3-1=2
∴tan∠OBC=

QM

BM

=

OC

OB

=

2

3

∴QM=

2

3

所以Q的坐标为Q（2，

2

3

）．
②若BQ=BD=2
∵△BQM∽△BCO，
∴

BQ

BC

=

QM

CO

=

BM

BO

∴

2

13

=

QM

2

∴QM=

4 13

13

∵

BQ

BC

=

BM

OB

∴

2

13

=

BM

3

∴BM=

6 13

13

∴OM=3-

6 13

13

所以Q的坐标为Q（3-

6 13

13

，

4 13

13

）．
综上所述，Q的坐标为Q（2，

2

3

）或Q（3-

6 13

13

，

4 13

13

）．

点评：本题考查了二次函数解析式的运用，坐标系里面积表示方法，及寻找特殊三角形的条件问题，涉及分类讨论和相似三角形的运用．