Question

如图，四边形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2，BC=4，AB=CD=

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．点M从点B开始，以每秒2个单位长的速度向点C运动；点N从点D开始，以每秒1个单位长的速度向点A运动，若点M，N同时开始运动，点M与点C不重合，运动时间为t（t＞0）．过点N作NP垂直于BC，交BC于点P，交AC于点Q，连接MQ．
（1）用含t的代数式表示QP的长；
（2）设△CMQ的面积为S，求出S与t的函数关系式；
（3）求出t为何值时，△CMQ为等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）过点A作AE⊥BC，交BC于点E，在△ABE中，由等腰梯形性质得BE=1，由勾股定理得AE=2，可推CE=3，ND=x，PC=1+x，由AE∥PQ得比例，表示线段PQ；
（2）由已知可得BM=2t，CM=4-2t，△CMQ的底CM、高PQ都可表示，就可表示面积了；
（3）△CMQ为等腰三角形，有三种可能，即：QM=QC，QC=CM，QM=CM，针对每一种情况，根据图形特征，线段长度，运用勾股定理解答．

解答：解：（1）过点A作AE⊥BC，交BC于点E，如图，
由AD=2，BC=4，AB=CD=

5

，得
AE=2．（1分）
∵ND=t，∴PC=1+t．
∴

PQ

AE

=

PC

EC

．即

PQ

2

=

1+t

3

．
∴PQ=

2+2t

3

．（2分）

（2）∵点M以每秒2个单位长运动，
∴BM=2t，CM=4-2t．（3分）
∴S_△CMQ=

1

2

CM•PQ=

1

2

•(4-2t)•

2+2t

3

=-

2

3

t2+

2

3

t+

4

3

．
即S=-

2

3

t2+

2

3

t+

4

3

．（4分）

（3）①若QM=QC，
∵QP⊥MC，
∴MP=CP．而MP=4-（1+t+2t）=3-3t，
即1+t=3-3t，∴t=

1

2

．（5分）
②若CQ=CM，
∵CQ²=CP²+PQ²=(1+t)2+(

2+2t

3

)2=

13

9

(1+t)2，
∴CQ=

13

3

(1+t)．
∵CM=4-2t，
∴

13

3

(1+t)=4-2t．
∴t=

85-18 13

23

．（6分）
③若MQ=MC，
∵MQ²=MP²+PQ²=(3-3t)2+(

2+2t

3

)2=

85

9

t2-

154

9

t+

85

9

，
∴

85

9

t2-

154

9

t+

85

9

=（4-2t）²，即

49

9

t2-

10

9

t-

59

9

=0．
解得t=

59

49

或t=-1（舍去）．
∴t=

59

49

．（7分）
∴当t的值为

1

2

，

85-18 13

23

，

59

49

时，
△CMQ为等腰三角形．

点评：本题考查了等腰梯形、等腰三角形、相似三角形的性质，勾股定理的运用，分类讨论的数学思想，有较强的综合性．