Question

已知：如图，△ABC中，∠ACB=45°，AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF并延长交AC于点E，∠BAD=∠FCD．
求证：（1）△ABD≌△CFD；
（2）BE⊥AC．

Answer 1

分析：（1）由垂直的性质推出∠ADC=∠FDB=90°，再由∠ACB=45°，推出∠ACB=∠DAC=45°，即可求得AD=CD，根据全等三角形的判定定理“ASA”，即可推出结论，（2）由（1）的结论推出BD=DF，根据AD⊥BC，即可推出∠DBF=∠DFB=45°，再由∠ACB=45°，通过三角形内角和定理即可推出∠BEC=90°，即BE⊥AC．

解答：证明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠FDB=90°．
∵∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠DAC=45°，
∴AD=CD，
∵在△ABD和△CFD中，

∠ADB=∠CDF AD=CD ∠BAD=∠FCD

，
∴△ABD≌△CFD（ASA），

（2）∵△ABD≌△CFD，
∴BD=FD，
∵∠FDB=90°，
∴∠FBD=∠BFD=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠BEC=90°，
∴BE⊥AC．

点评：本题主要考查全等三角形判定定理及性质，垂直的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质等知识点，关键在于熟练的综合运用相关的性质定理，通过求证△ABD≌△CFD，推出BD=FD，求出∠FBD=∠BFD=45°．