Question

如图，已知Rt△AOB在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，∠BAO=30°，且A的坐标为（3，0），⊙C的圆心坐标为（-1，0），半径为1，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交与点E．求：
（1）过点A、B、C的二次函数关系式；
（2）求△ABE面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）先根据∠AOB=90°，∠BAO=30°，且A的坐标为（3，0）求出B点坐标，用待定系数法求出过点A、B、C的二次函数关系式即可；
（2）由题意可得当⊙C与AD相切时，△ABE面积最大，然后连接CD，由切线的性质，根据勾股定理，可求得AD的长，易证得△AOE∽△ADC，根据相似三角形的对应边成比例，易求得OE的长，继而求得△ABE面积的最大值．

解答：解：（1）∵Rt△AOB在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，∠BAO=30°，且A的坐标为（3，0），
∴B（0，

3

），
设过A、B、C三点的函数关系式为y=a（x+1）（x-3），把点B（0，

3

）代入得，
∴

3

=a×1×（-3），解得a=-

3

3

，
∴过点A、B、C的二次函数关系式为：y=-

3

3

（x+1）（x-3），即y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

；

（2）∵△ABE的高OA是定值，
∴BE越长，则△ABE的面积越大，
∴当⊙C与AD相切时，△ABE面积最大，连接CD，
则∠CDA=90°，
∵A（3，0），B（0，

3

），⊙C的圆心为点C（-1，0），半径为1，
∴CD=1，AC=3+1=4，
∴AD=

AC2-CD2

=

42-12

=

15

，
∵∠AOE=∠ADC=90°，∠EAO=∠CAD，
∴△AOE∽△ADC，
∴

OA

AD

=

OE

CD

，

3

15

=

OE

1

，解得OE=

15

5

，
∴BE=OB+OE=

3

+

15

5

，
∴S_△ABE最大=

1

2

BE•OA=

1

2

×（

3

+

15

5

）×3=

3 3

2

+

3 15

10

．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到切线的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．