Question

某公司开发了一种新型的家电产品，又适逢“家电下乡”的优惠政策．现投资50万元用于该产品的广告促销，已知该产品的本地销售量y₁（万台）与本地的广告费用x（万元）之间的函数关系满足y₁=3x（0≤x≤50）； 该产品的外地销售量y₂（万台）与外地广告费用t（万元）之间的函数关系可用如图所示的抛物线和线段AB来表示．其中点A为抛物线的顶点．
（1）结合图象，写出y₂（万台）与外地广告费用t（万元）之间的函数关系式；
（2）求该产品的销售总量y（万台）与本地广告费用x（万元）之间的函数关系式；
（3）如何安排广告费用才能使销售总量最大？

Answer 1

分析：（1）当0≤t≤30时，y₂为二次函数，顶点坐标为（30，140），设抛物线顶点式，把（0，50）代入求函数式，当30＜t≤50时，y₂=140；
（2）由x+t=50，得t=50-x，此时，x的取值范围是0≤x＜20，20≤x≤50，由y=y₁+y₂，分别求该产品的销售总量y（万台）与本地广告费用x（万元）之间的函数关系式；
（3）由（2）中的两个函数关系式，再各范围内求y的最大值，比较即可．

解答：解：（1）当0≤t≤30时，抛物线顶点坐标为（30，140），设y₂=a（t-30）²+140，
将（0，50）代入，得a（0-30）²+140=50，解得a=-

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，y₂=-

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（t-30）²+140，
当30＜t≤50时，y₂=140；

（2）由x+t=50，根据t的取值范围得，
当0≤x＜20时，y=y₁+y₂=3x+140，
当20≤x≤50时，y=y₁+y₂=3x-

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（50-x-30）²+140=-0.1（x-35）²+222.5；

（3）由（2）的函数关系式可知，当x=35时，y_最大=222.5万元，
即：安排本地广告费35万元，外地广告费15万元，能使销售总量最大，最大为222.5万元．

点评：本题考查了二次函数的应用．关键是根据函数图象，分段求出y₂的函数关系式及t的取值范围，根据两个变量x、t的和为50，将函数式中的变量进行转化，根据二次函数的性质求最大值．