Question

【题目】通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式就是方程思想，已学过的《勾股定理》及《一次函数》都与它有密切的联系，最近方程家族的《一元二次方程》我们也学习了它的求解方法和应用。如图1，矩形中，在上，且，点从点出发，以1个单位每秒的速度在边上向点运动，设点的运动时间为秒。

（1）的面积为，求关于的函数关系式，并求出时的值；

（2）在点从点向运动的过程中，是否存在使的时刻？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

（3）如图2，分别是的中点，在点从向运动的过程中，线段扫过的图形是什么形状_________________，并直接写出它的面积___________________________。

Answer 1

【答案】（1）x=8；（2）存在，x=6；（3）平行四边形，15.

【解析】

（1），，然后依据的面积矩形的面积三个直角三角形的面积可得到与的函数关系式，然后将代入函数关系式可求得的值；

（2）先依据勾股定理求得、、的长，然后依据勾股定理的逆定理列出关于的方程，从而可求得的值；

（3）确定出点分别与点和点重合时，点、的位置，然后依据三角形的中位线定理可证明，，从而可判断出扫过区域的形状，然后依据平行四边形的面积公式求解即可．

解：（1）四边形为矩形，

，．

，

．

，，

，

整理得：．

当时，，

解得：．

（2）存在．理由如下：

，，，，

，，．

当时，，

，

整理得：，

配方得：，

解得：．

（3）如图所示：

当点与点重合时，点位于处，点位于点处，

为的中点，点位的中点．

当点与点重合时，点位于处，点位于点处，

为的中点，点位的中点．

，，，．

，．

四边形为平行四边形．

扫过的区域为平行四边形．

故答案为：平行四边形；15．