Question

如图，在△ABC中，AB=AC，点D为AC中点，点E在BA的延长线上，且EA=AB，ED的延长线交BC于F，连AF．
（1）请写出一对相似三角形并证明；
（2）当AF=4时，求EF的长．

Answer 1

分析：（1）△ABF∽△DCF，过点A作AG∥BC交EF于G，则根据平行线的性质可以得到

EA

EB

=

AG

BF

，

AG

CF

=

AD

DC

，然后利用已知条件

DC

AB

=

CF

BF

，接着利用由AB=AC得到∠B=∠C，利用这些条件即可确定△ABF∽△DCF；
（2）利用（1）中结论和相似三角形的性质可以得到

CF

BF

=

1

2

（3），接着得到

DF

AF

=

CF

BF

=

1

2

（4），这样可以求出DF=2，又由AG∥BC，点D为AC中点可以得到

GD

DF

=

AD

DC

=

1

1

，从而求出DG=2，GF=4，再由AG∥BC，EA=AB得到

FG

FE

=

BA

BE

=

1

2

，由此即可求解．

解答：（1）△ABF∽△DCF（1分）
证明：过点A作AG∥BC交EF于G，
则

EA

EB

=

AG

BF

，

AG

CF

=

AD

DC

，（2分）
∵EA=AB，点D为AC中点，
∴

AG

BF

=

1

2

，

AG

CF

=

1

1

，
∴

CF

BF

=

1

2

（1分）
又∵AB=AC，AD=DC，
∴CD=

1

2

AC=

1

2

AB，即

DC

AB

=

1

2

（1分），
∴

DC

AB

=

CF

BF

，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△ABF∽△DCF；

（2）解：∵△ABF∽△DCF，

CF

BF

=

1

2

（3），
∴

DF

AF

=

CF

BF

=

1

2

（4），
∴DF=2，
又∵AG∥BC，点D为AC中点，
∴

GD

DF

=

AD

DC

=

1

1

，
∴DG=2，
∴GF=4，
∵AG∥BC，EA=AB，
∴

FG

FE

=

BA

BE

=

1

2

，
∴EF=8．

点评：此题主要考查了相似三角形的性质与判定，证明相似三角形主要利用了平行线分线段成比例的定理，求线段的长度分别利用了相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理，题目比较麻烦，解题要有耐心．