Question

在平面之间坐标系中，一次函数y=-的图象与x轴y轴分别相交于A，B两点，在第一象限内是否存在点P，使得以点P，O，B为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请写出所以符合条件的点P的坐标．

Answer 1

解：在y=中，令x=0，解得：y=2，则B的坐标是（0，2）；
在y=-中令y=0，解得：x=4，则A的坐标是（4，0）．
当O是直角顶点时，P一定在x轴上，与△AOB重合，不符合题意；
当B是直角顶点时，当△OPB的边OB与△AOB的边BO是对应边时，即△AOB∽△PBO时，P的坐标是（4，2）；
当△AOB∽△OBP时，=，即=，解得：BP=1，则P的坐标是（1，2）；
当P是直角顶点，当△AOB∽△OPB时，OP是直角△AOB斜边AB上的高，如图1，
则AB===2，
OB²=PB•AB，则BP===，
∴AP=AB-BP=2-=，
∴OP==，
过P作PC⊥x轴于点C．
则△PCO∽△AOB，
∴====，
∴OC=OB=，PC=OA=，则P的坐标是（，）；
当△AOB∽△BPO时，如图2，则=，即=，解得：OP=，
过P作PD⊥x轴，则△OPD∽△ABO，
∴====，
则PD=OB=0.4，OD=OA=0.8，点P的坐标是（2，1）．
故P的坐标是：（4，2）或（1，2）或（，）或（0.8，0.4）．
分析：首先求得A、B的坐标，然后分O，B，P分别是直角顶点三种情况讨论，每种情况再分那条边与OB是对应边两种情况进行讨论，即可求解．
点评：本题考查了直角三角形相似的判定与性质，正确进行讨论是关键．