Question

如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F。
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）当EF与AC满足什么关系时，以A，E，C，F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论。

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，AE∥CF，
∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF，
∴△BOE≌△DOF（AAS）；
（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形，
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，
又由（1）△BOE≌△DOF得，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形。