Question

已知：在平面直角坐标系中，等腰直角△ABC顶点A、C分别在y轴、x轴上，且∠ACB=90°，AC=BC．
（1）如图1，当A（0，-2），C（1，0），点B在第四象限时，先写出点B的坐标，并说明理由．
（2）如图2，当点C在x轴正半轴上运动，点A（0，a）在y轴正半轴上运动，点B（m，n）在第四象限时，作BD⊥y轴于点D，试判断a，m，n之间的关系，请证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）过点B作BD⊥x轴于D，利用同角的余角相等求出∠OAC=∠BCD，然后利用“角角边”证明△AOC和△CDB全等，根据全等三角形对应边相等可得AO=CD，OC=BD，然后求出OD，再根据点D在第四象限写出点D的坐标即可；
（2）过点B作BE⊥x轴于E，利用同角的余角相等求出∠2=∠3，再利用“角角边”证明△CEB和△AOC全等，根据全等三角形对应边相等可得AO=CE，BE=CO，然后代入a、m、n整理即可得解．

解答：解：（1）点B的坐标为（3，-1）．
理由如下：作BD⊥x轴于D，
∴∠BOC=90°=∠BDC，
∴∠OAC+∠ACO=90°，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ACO+∠BCD=90°，
∴∠OAC=∠BCD，
在△AOC和△CDB中，

∠OAC=∠BCD ∠AOC=∠CDB=90° AC=BC

，
∴△AOC≌△CDB（AAS），
∴AO=CD，OC=BD，
∵A（0，-2），C（1，0），
∴AO=CD=2，OC=BD=1，
∴0D=3，
∵B在第四象限，
∴点B的坐标为（3，-1）；

（2）a+m+n=0．
证明：作BE⊥x轴于E，
∴∠BEC=∠AOC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
在△CEB和△AOC中，

∠2=∠3 ∠BEC=∠AOC AC=BC

，
∴△CEB≌△AOC（AAS），
∴AO=CE=a，BE=CO，
∵BE⊥x轴于E，
∴BE∥y轴，
∵BD⊥y轴于点D，EO⊥y轴于点O，
∴EO=BD=m，
∴BE=-n，
∴a+m=-n，
∴a+m+n=0．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．