Question

如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于A、B两点，D为抛物线的顶点，O为坐标原点．若OA、OB（OA＜OB）的长分别是方程x²-4x+3=0的两根，且∠DAB=45°．
（1）求抛物线对应的二次函数解析式；
（2）过点A作AC⊥AD交抛物线于点C，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点A任作直线l交线段CD于点P，若点C、D到直线l的距离分别记为d₁、d₂，试求的d₁+d₂的最大值．

Answer 1

解：（1）解方程x²-4x+3=0得：
x=1或x=3，而OA＜OB，
则点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0）；
∵A、B关于抛物线对称轴对称，
∴△DAB是等腰三角形，而∠DAB=45°，
∴△DAB是等腰直角三角形，得D（1，-2）；
令抛物线对应的二次函数解析式为y=a（x-1）²-2，
∵抛物线过点A（-1，0），
∴0=4a-2，得a=，
故抛物线对应的二次函数解析式为y=（x-1）²-2（或写成y=x²-x-）；

（2）∵CA⊥AD，∠DAC=90°，
又∵∠DAB=45°，
∴∠CAB=45°；
令点C的坐标为（m，n），则有m+1=n，
∵点C在抛物线上，
∴n=（m-1）²-2；
化简得m²-4m-5=0
解得m=5，m=-1（舍去），
故点C的坐标为（5，6）；

（3）由（2）知AC=6，而AD=2，
∴DC=；
过A作AM⊥CD，
又∵，
∴AM=，
又∵S_△ADC=S_△APD+S_△APC
∴，
d₁+d₂=；
即此时d₁+d₂的最大值为4．
分析：（1）通过解方程即可求得OA、OB的长，从而得到点A、B的坐标，由于A、B关于抛物线的对称轴对称，且∠DAB=45°，那么△DAB是等腰直角三角形，即可利用点A、B的坐标求得点D的坐标，然后根据待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）由于AC⊥AD，且∠DAB=45°，则∠CAB=45°，设出点C的横坐标，那么其纵坐标应为m+1，然后将C点坐标代入抛物线的解析式中，即可求得点C的坐标；
（3）易得AC、AD的长，由于△ACD是直角三角形，那么AC•AD=AP•d₁+AP•d₂，由此可得d₁+d₂=，过A作AM⊥CD于M，利用△ACD的面积可求得AM的长，在Rt△APM中，AP≥AM，故d₁+d₂≤，而AC、AD、AM的长都已求得，由此可确定d₁+d₂的最大值．
点评：此题主要考查了等腰直角三角形的性质、二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、三角形面积的计算方法以及不等式的应用等重要知识，涉及知识面广，难度较大．