Question

如图1和2，四边形ABCD是菱形，点P是对角线AC上一点，以点P为圆心，PB为半径的弧，交BC的延长线于点F，连接PF，PD，PB．
（1）如图1，点P是AC的中点，请写出PF和PD的数量关系：______；
（2）如图2，点P不是AC的中点，
①求证：PF=PD．
②若∠ABC=40°，直接写出∠DPF的度数．

Answer 1

（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴PB=PD，
∵PB=PF，
∴PF=PD．
故答案为：PF=PD；

（2）①证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC．
在△ABP和△ADP中，
，
∴△ABP≌△ADP（SAS），
∴PB=PD，
又∵PB=PF，
∴PF=PD．

②解：以P为圆心，PB为半径作圆P，则点B、F、D都在圆P上，连接BD．
由圆周角定理，可得∠DPF=2∠DBF，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC=2∠DBF，
∴∠DPF=∠ABC=40°．
分析：（1）先根据菱形的对角线互相平分得出PB=PD，而由已知有PB=PF，则PF=PD；
（2）①先由菱形的性质得出AB=AD，∠BAC=∠DAC，再由SAS证明△ABP≌△ADP，得出PB=PD，又PB=PF，则PF=PD；
②由于PB=PD=PF，以P为圆心，PB为半径作圆P，则点B、F、D都在圆P上，连接BD，则∠DPF=2∠DBF=∠ABC=40°．
点评：此题考查了菱形的性质与判定、轴对称性与中心对称性．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．