Question

如图，∠ABC=∠DCB=90°，AB=BC，点E是BC的中点，EA⊥ED．
求证：（1）△ABE∽△ECD；
（2）∠EAD=∠EAB．

Answer 1

分析：（1）由已知得∠BAE+∠BEA=90°，∠DEC+∠BEA=90°，等量代换得∠BAE=∠DEC，再由∠ABE=∠ECD=90°证得△ABE∽△ECD；
（2）由AB=BC，点E是BC的中点，CE=BE=

1

2

AB，再由△ABE∽△ECD推出

DE

AE

=

BE

AB

，已知EA⊥ED推出∠DEA=90°=∠ABC，所以△AED∽△ABE，从而得出∠EAD=∠EAB．

解答：证明：（1）∵∠BAE+∠BEA=90°
∠DEC+∠BEA=90°（2分）
∴∠BAE=∠DEC（1分）
又∵∠ABE=∠ECD=90°
∴△ABE∽△ECD（1分）

（2）∵点E是BC的中点
∴CE=BE=

1

2

BC（1分）
∵AB=BC∴CE=BE=

1

2

AB（1分）
∵△ABE∽△ECD
∴

DE

AE

=

CE

AB

=

1

2

（1分）
∵

BE

AB

=

1

2

∴

DE

AE

=

BE

AB

（1分）
∵EA⊥ED
∴∠DEA=90°=∠ABC
∴△AED∽△ABE（1分）
∴∠EAD=∠EAB（1分）

点评：此题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，关键是由已知证明角相等推出三角形相似；通过已知推出三角形相似得出角相等．