Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c的顶点为Q，与x轴交于A（-1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于C点．
（1）直接写出抛物线的解析式及其顶点Q的坐标；
（2）在该抛物线的对称轴上求一点P，使得△PAC的周长最小．请在图中画出点P的位置，并求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式求出b、c的值，即可得到抛物线解析式，然后整理成顶点式形式，再写出顶点坐标即可；
（2）因为AC的长度一定，所以只要找出点P到A、C两点的距离之和最小即可，根据轴对称确定最短路径问题，连接BC与对称轴的交点即为所求的点P，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后求解即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c经过点A（-1，0）、B（5，0），
∴

-1-b+c=0 -25+5b+c=0

，
解得

b=4 c=5

，
∴抛物线的解析式为y=-x²+4x+5，
∵y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，
∴Q（2，9）；

（2）如图，连接BC，交对称轴于点P，连接AP、AC
∵AC长为定值，
∴要使△PAC的周长最小，只需PA+PC最小．
∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B（5，0），抛物线y=-x²+4x+5与y轴交点C的坐标为（0，5），
∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小，
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
将B（5，0）、C（0，5）代入得

5k+b=0 b=5

，
解得

k=-1 b=5

，
∴y=-x+5，
当x=2时，y=-2+5=3，
∴点P的坐标为（2，3）．

点评：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，难度中等，（2）确定出点P的位置是解题的关键．