Question

如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．
（1）求证：CA是圆的切线；
（2）若点E是BC上一点，已知AE=6，∠ABC=25°，∠AEC=50°，求圆的直径．（精确到0.1）

Answer 1

分析：（1）由BC为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到三角形BDC为直角三角形，利用直角三角形的两锐角互余得到一对角互余，再由已知的角相等，等量代换可得出AC与BC垂直，进而确定出CA为圆的切线；
（2）根据锐角三角函数的定义得到tan∠AEC，tan∠ABC，同AC表示出BC与EC，代入BC-EC=BE即可求出AC，进一步求出BC即可．

解答：解：（1）证明：∵BC为圆的直径，∴∠BDC=90°，
∴∠ABC+∠DCB=90°，又∠ACD=∠ABC，
∴∠ACD+∠DCB=90°，即∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，BC为圆的直径，
则CA为圆的切线；
（2）在Rt△AEC中，tan∠AEC=tan50°=

AC

CE

，即CE=

AC

tan50°

，
在Rt△ABC中，tan∠ABC=tan25°=

AC

BC

，即BC=

AC

tan25°

，
∵BC-EC=BE，BE=6，
∴

AC

tan25°

-

AC

tan50°

=6，即AC=

6

1 tan25° - 1 tan50°

，
则BC=

6 1 tan25° - 1 tan50°

tan25°

≈2.2．

点评：本题主要考查对锐角三角函数的定义，解直角三角形，切线的判定，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能证明是圆的切线是解此题的关键．