Question

对a＞b＞c＞0，作二次方程x²-（a+b+c）x+ab+bc+ca=0．
（1）若方程有实根，求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长；
（2）若方程有实根x₀，求证：a＞x₀＞b+c；
（3）当方程有实根6，9时，求正整数a，b，c．

Answer 1

分析：（1）若一元二次方程有实根，则根的判别式△=b²-4ac≥0，建立a、b、c的关系，则能证明．
（2）设f（x）=x²-（a+b+c）x+ab+bc+ca，由二次函数性质可证．
（3）由根与系数关系可得a、b、c的关系，进而解得a、b、c的值．

解答：解：（1）由方程有实根得，△=（a+b+c）²-4（ab+bc+ca）≥0
即0≤a²+b²+c²-2ab-2bc-2ca=a（a-b-c）-b（a+c-b）-c（a+b-c）＜a（a-b-c），由a＞0，得a-b-c＞0，
即a＞b+c．所以，a，b，c不能成为一个三角形的三边．（4分）

（2）设f（x）=x²-（a+b+c）x+ab+bc+ca，则f（b+c）=bc＞0，f（a）=bc＞0，
且f（

a+b+c

2

）=＜0由（1）知b+c＜

a+b+c

2

＜a，
所以二次方程的实根x₀都在b+c与a之间，即a＞x₀＞b+c．（7分）

（3）由根与系数关系有a+b+c=15，ab+bc+ca=54，
得a²+b²+c²=（a+b+c）²-2（ab+bc+ca）=225-108=117＜11²．由（2）知a＞9，
故得9²＜a²＜11²，∴a=10．∴b+c=5，bc=4，由b＞c，解得b=4，c=1，
∴a=10，b=4，c=1．（10分）

点评：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度较大的题目．