Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的面积为15平方单位，边OA比OC大2，E为BC的中点，以OE为直径的⊙M交x轴于D点．
（1）试求OA，OC的长；
（2）试说明D为OA的中点；
（3）直线BC上是否存在点P，使△AOP是等腰三角形？如果存在，请写出所有符合题意的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：设OC=x，则OA=x+2，根据矩形的面积公式即可求得OA，OC的长；由已知可推出四边形ODEC是矩形，从而得到OD=CE=

1

2

BC=

1

2

OA，即D是OA的中点；在直线BC上存在点P，使△AOP是等腰三角形，根据已知需分几种情况进行分析，分别是AP=OA，OP=OA，利用勾股定理求得P的坐标．

解答：解：（1）设OC=x，则OA=x+2，依题意得
x（x+2）=15，
解得x=3，x=-5（舍去），
∴OA=5，OC=3．（4分）

（2）连接DE，因为OE是直径，所以∠ODE=90°，
在四边形ODEC中，∠ODE=∠ECO=∠COD=90°，
所以四边形ODEC是矩形，所以OD=CE=

1

2

BC=

1

2

OA，
即D是OA的中点．（4分）

（3）在直线BC上存在点P，使△AOP是等腰三角形，
∵ED⊥OA，OD=DA，
∴OE=AE，
即△AOE是等腰三角形，点E就是所求的P点，其坐标为（2.5，3）；
当AP=OA时，AP=5，AB=3，根据勾股定理，得BP=4，
∴CP=1或CP=9，
△AOP是等腰三角形，P点坐标（1，3），（9，3）；
同理，当OP=OA时，△AOP是等腰三角形，
此时，P点坐标（4，3）或（-4，3）．（4分）

点评：此题主要考查学生对矩形的性质及等腰三角形的性质的掌握情况．