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    （2012•许昌一模）如图，已知抛物线，y=ax2+bx+c经过A（2，0）．B（3．-3）及原点O．顶点为C．
    （l）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；
    （2）点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标；
    （3）P是抛物线上第三象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，清说明理由．
    分析：（1）通过抛物线过原点O，可设抛物线的解析式为y=ax2+bx，再根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式；
    （2）①当OA为边时，根据E在x=1上，能求出D的横坐标，根据平行四边形性质求出D的坐标即可；
    ②OA为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分，求出D和C重合，进一步求出E的坐标；
    （3）设P（x，y），由题意知x＜0，y＜0且y=-x2+2x，可得P（x，-x2+2x），根据勾股定理的逆定理求出直角三角形BOC，根据相似三角形的性质，得出比例式，代入求出即可．
    解答：解：（1）∵抛物线过原点O，
    ∴可设抛物线的解析式为y=ax2+bx，
    将A（2，0），B（3，-3）代入，得
    4a+2b=0
    9a+3b=-3
    ，
    解得
    a=-1
    b=2
    ，
    故抛物线的解析式为：y=-x2+2x，
    则y=-x2+2x=-（x2-2x）=-（x-1） 2+1，
    故C点坐标为：（1，1）；

    （2）如图1，①当AO为边时，
    ∵以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形．
    ∴DE∥AO，且DE=AO=2．
    ∵点E在对称轴x=1上，
    ∴点D的横坐标为-1或3．
    即符合条件的点D有两个，分别记为D1，D2．
    而当x=-1时，y=-3当x=3时，y=-3
    则D1（-1，-3），D2（3，-3），
    ②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分．
    又点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为1，
    由对称性知，符合条件的点D只有一个，即顶点C（1，1），
    综上所述，符合条件的点D共有三个，分别为（-1，-3），（3，-3），（1，1）；

    （3）存在，
    如图2，∵B（3，-3），C（1，1）根据勾股定理得：
    BO2=18，CO2=2，BC2=20．
    ∴BO2+CO2=BC2．
    ∴△BOC是以∠BOC为直角的直角三角形．
    假设存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与Rt△BOC相似．
    设P（x，y），由题意知x＜0，y＜0且y=-x2+2x，
    ①若△AMP∽△BOC，
    则
    AM
    BO
    =
    PM
    CO
    ．
    2-x
    3
    		2
    =
    -(-x2+2x)
    		2
    ，
    则3x2-5x-2=0，
    解之得x1=-
    1
    3
    ，x2=2（舍去）．
    当x=-
    1
    3
    时，y=-
    7
    9
    ，即点P（-
    1
    3
    ，-
    7
    9
    ）
    ②若△PMA∽△BOC，
    则
    AM
    CO
    =
    PM
    BO
    ．
    2-x
    		2
    =
    -(-x2+2x)
    3
    		2

    则x2+x-6=0
    解之得x1=-3，x2=2（舍去）．
    当x=-3时，y=-15，即点P（-3，-15）．
    综上所述，符合条件的点P有两个，分别是P1（-
    1
    3
    ，-
    7
    9
    ），P2（-3，-15）．
    点评：本题考查了二次函数的综合，用待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质、勾股定理的逆定理、平行四边形的判定等知识点的应用，此题综合性比较强，有一定的难度，对学生提出较高的要求．注意：不要漏解，分类讨论思想的巧妙运用．
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    -8
    -8
    ．

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    3
    x+2
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    1
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