Question

鄂州市圆梦园别墅区有一块三角形ABC的空地，BC=30米，BC边上的高AD=20米，现计划在这块空地上修建一个矩形游泳池EFGH，使EF在BC边上，H、G分别在AB，BC边上，设EH为x米，矩形的面积为S．
（1）求S关于x的函数式，并写出自变量的取值范围．
（2）别墅区管理处计划投资26000元．若游泳池EFGH每平方米造价100元．将△BEH和△CGF种植草皮，草皮每平方米40元，将△AHG修建休闲区，每平方米造价80元．请你通过计算说明别墅区管理处对该项目的投资是否够用？

Answer 1

解：（1）由题意得HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴，
=，
解得HG=-1.5x+30，
∴S=HG×HE=-1.5x²+30x（0＜x＜20）；

（2）游泳池的造价为（-1.5x²+30x）×100=-150x²+3000x，
休闲区的造价为×（-1.5x+30）×（20-x）×80=60x²-2400x+24000，
草皮的造价为[30×20×-（-1.5x²+30x+x²-30x+300）]×40=30x²，
∴W=-60x²+600x+24000，
=-60（x-5）²+25500，
当x=5时，W有最大值25500元，小于26000元，够用．
分析：（1）利用△AHG∽△ABC得到HG的代数式，进而得到矩形的面积即可；
（2）总造价=游泳池的面积×100+草皮的面积×40+休闲区的面积×80，利用二次函数的最值问题求得最高造价，与所给造价比较即可．
点评：考查一次函数的应用利用相似三角形的判定与性质得到矩形的另一边长是解决本题的突破点．