Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为．

（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；

（2）点为抛物线上一点（不与点重合），联结．当时，求点的坐标；

（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点，点的对应点为点，当时，求抛物线平移的距离．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）抛物线平移的距离为．

【解析】

（1）根据点A的坐标及对称轴可以先得出点B的坐标，再将A,B的坐标代入表达式即可求出结果，进而得出顶点坐标；

（2）由∠PCB=∠ACB和∠ABC=45°联想到构造全等三角形，过点作轴，垂足为点,过点作，交的延长线于点，可得出，再由，可得出.设PM=a,用a表示出点P的横坐标，代入解析式，可求出a的值，进而得出点P的坐标.

（3）过点作直线轴，交轴于点，交的延长线于点,可得，根据，得，用含m的式子表示出OE,QF的长，然后列出关于m的方程，求出m即可.

解：（1）∵的坐标为，对称轴为直线，∴点的坐标为

将、代入，得

解得：

所以，．

当时，，

∴顶点坐标为．

（2）过点作轴，垂足为点．过点作，交的延长线于点．

∵，∴四边形为矩形．

∴，．

∵，∴点的坐标为．

∵，∴．

∵，∴，

又∵，∴，即．

∴．∴．

设，则，．

∴．

将代入，得

．

解得，（舍）．∴．

（3）设抛物线平移的距离为,如图．得，

∴的坐标为．

过点作直线轴，交轴于点，交的延长线于点．

∵，

∴，，

∴，

∴．

∴．

∴．

解得．

即抛物线平移的距离为．