Question

（1）如表，方程1，方程2，方程3，…，是按照一定规律排列的一列方程．解方程1，并将它的解填在表中的空白处；

序号	方程	方程的解
1	6 x - 1 x-2 =1	x1=	x2=
2	8 x - 1 x-3 =1	x1=4	x2=6
3	10 x - 1 x-4  =1	x1=5	x2=8
…	…	…	…

（2）若方程

a

x

-

1

x-b

=1（a＞b）的解是x₁=6，x₂=10，求a、b的值．该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？
（3）请写出这列方程中的第n个方程和它的解，并验证所写出的解适合第n个方程．

Answer 1

分析：（1）两边同时乘最简公分母x（x-2），可把分式方程化为整式方程来解答．
（2）先将x₁=6，x₂=10分别代入方程

a

x

-

1

x-b

=1，求得a、b的值．因此得到方程为

12

x

-

1

x-5

=1，发现它是（1）中所给一列方程中的一个，是第4个．
（3）先按照规律列出方程的第n个方程，再求解并检验．

解答：解：（1）

6

x

-

1

x-2

=1，整理，得x²-7x+12=0．解得x₁=3，x₂=4（2分）
经检验知，x₁=3，x₂=4是原方程的根．

（2）将x₁=6，x₂=10分别代入

a

x

-

1

x-b

=1，
得

a 6 - 1 6-b =1 a 10 - 1 10-b =1

，
消去a，整理得b²-17b+60=0，
解得b₁=5，b₂=12．
当b₁=5时，a₁=12；
当b₂=12时，a₂=5．
∵a＞b，
∴

a=12 b=5

．
经检验知，

a=12 b=5

适合分式方程组．
所得方程为

12

x

-

1

x-5

=1．（4分）
它是（1）中所给一列方程中的一个，是第4个．（5分）

（3）这个方程的第n个方程为

2(n+2)

x

-

1

x-(n+1)

=1．（n≥1，n为整数）
它的解为x₁=n+2，x₂=2（n+1）（6分）
检验：当x₁=n+2时，左边=

2(n+2)

x

-

1

x-(n+1)

=1
=

2(n+2)

n+2

-

1

(n+2)-(n+1)

=2-1=1=右边
当x₂=2（n+1）时，左边=

2(n+2)

2(n+1)

-

1

2(n+1)-(n+1)

=

n+2

n+1

-

1

n+1

=1=右边
所以，x₁=n+2和x₂=2（n+1）是方程

2(n+2)

x

-

1

x-(n+1)

=1的解．（8分）

点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．