Question

宽与长的比是

5 -1

2

的矩形叫黄金矩形，心理学测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感，现将同学们在教学活动中，折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤：
第一步：作一个任意正方形ABCD；
第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；
第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；
第四步：过E作EF⊥AD交AD的延长线于F，
（1）请你根据以上作图步骤画出图形；
（2）请证明矩形DCEF为黄金矩形，（可取AB=2）

Answer 1

分析：（1）根据题中作图步骤即可画出图形；
（2）首先设出正方形的边长是2a，然后根据作图中的方法分别用a表示出矩形的长和宽，再进一步求得它们的比值，根据黄金矩形的概念即可判断．

解答：（1）解：如图；

（2）证明：在正方形ABCD中，取AB=2a，
∵N为BC的中点，
∴NC=

1

2

BC=a．
在Rt△DNC中，ND=

NC2+CD2

=

5

a，
又∵NE=ND，∴CE=NE-NC=（

5

-1）a，
∴

CE

CD

=

5 -1

2

．
故矩形DCEF为黄金矩形．

点评：本题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解题的关键．