Question

已知关于x的两个一元二次方程：
方程①：(1+

k

2

)x2+(k+2)x-1=0；   
方程②：x²+（2k+1）x-2k-3=0．
（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；
（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根，并化简

1- 4k+12 (k+4)2

；
（3）若方程①和②有一个公共根a，求代数式（a²+4a-2）k+3a²+5a的值．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式的意义得到1+

k

2

≠0且△₁=0，即（k+2）²-4（1+

k

2

）×（-1）=0，求出满足条件的k的值，然后代入方程②，用公式法解方程即可；
（2）由于△₂=（2k+1）²+4（2k+3）=4k²+12k+13=（2k+3）²+4＞0，则方程①没有实数根，得到△₁＜0，即有（k+2）（k+4）＜0，然后条件此条件把二次根式化简即可；
（3）设a 是方程①和②的公共根，则(1+

k

2

)a2+(k+2)a-1=0  ③，a²+（2k+1）a-2k-3=0④，通过变形得到ka²=2（k-1）a-4k-4⑤，a²=-（2k+1）a+2k+3⑥，
然后把它们代入所求的代数式即可得到结论．

解答：解：（1）∵方程①有两个相等实数根，
∴1+

k

2

≠0且△₁=0，即（k+2）²-4（1+

k

2

）×（-1）=0，则（k+2）（k+4）=0，解此方程得k₁=-2，k₂=-4，
而k+2≠0，
∴k=-4，
当k=-4时，方程②变形为：x²-7x+5=0．
解得  x1=

7+ 29

2

，x2=

7- 29

2

•
（2）∵?△₂=（2k+1）²+4（2k+3）=4k²+12k+13=（2k+3）²+4＞0，
因此无论k为何值时，方程②总有实数根，
∵方程①、②只有一个方程有实数根，
∴此时方程①没有实数根，
∴△₁＜0，
∴（k+2）（k+4）＜0，
∴

1- 4k+12 (k+4)2

=

(k+4)2-(4k+12) (k+4)2

=

(k+2)2 (k+4)2

=

( k+2 k+4 )2

=|

k+2

k+4

|=-

k+2

k+4

；
（ 3）设a 是方程①和②的公共根，
∴(1+

k

2

)a2+(k+2)a-1=0  ③，
a²+（2k+1）a-2k-3=0④，
由（③-④）×2得：ka²=2（k-1）a-4k-4⑤，
由④得：a²=-（2k+1）a+2k+3⑥，
将⑤、⑥代入原式，得
∴原式=ka²+4ak-2k+3a²+5a
=2（k-1）a-4k-4+4ak-2k-3（2k+1）a+6k+9+5a
=5．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了二次根式的性质与化简以及有公共根两个一元二次方程的解题方法．