Question

如图，在正方形ABCD中，以对角线AC为一边作一等边△ACE，连接ED并延长交AC于点F．
（Ⅰ）求证：EF⊥AC；
（Ⅱ）延长AD交CE于点G，试确定线段DG和线段DE的数量关系．

Answer 1

分析：（1）可由SSS证得△AED≌△CED，得到∠AED=∠CED，根据等腰三角形的性质：顶角的平分线与底边上的高重合知，EF⊥AC；
（2）过G作GM⊥EF，垂足为M，则可证得△DMG为等腰直角三角形，△MGE为含30度角的直角三角形，进而设出参数，解△DMG和，△MGE这两个直角三角形，求得DG与DE的比．

解答：（1）证明：由已知，得

AE=CE ED=ED AD=CD

，
∴△AED≌△CED，（2分）
∴∠AED=∠CED，（3分）
又∵△AEC为等边三角形，
∴EF⊥AC；（4分）

（2）解法一：
过G作GM⊥EF，垂足为M，（5分）
由已知和（Ⅰ），得
∠AED=∠CED=30°，∠EAD=15°
∴∠EDG=45°，
∴MD=GM（6分）
设GM=x，则DG=

2

x
在Rt△MEG中，EG=2MG=2x，（7分）
∴EM=

3

x（8分）
∴ED=

3

x+x=（

3

+1）x（9分）
∴

ED

DG

=

( 3 +1)x

2 x

=

6 + 2

2

即DE=

6 + 2

2

DG（或DG=

6 - 2

2

DE）（10分）

解法二：
过E作EM⊥AD，垂足为M
在Rt△MDE中，
∵∠EDM=∠MED=45°，
∴EM=DM
设EM=DM=x，
则DE=

2

x（6分）
在Rt△AEF中，cot30°=

DE+DF

AF

，
∴DF=AF=

( 6 + 2 )x

2

（7分）
∴AD=

( 6 + 2 )x

2

•

2

=(

3

+1)x（8分）
∵△CDG∽△AME，
∴

DG

EM

=

CD

AM

即

DG

x

=

( 3 +1)x

( 3 +1+1)x

∴DG=(

3

-1)x（9分）
∴

DE

DG

=

2 x

( 3 -1)x

=

6 + 2

2

即DE=

6 + 2

2

DG（或DG=

6 - 2

2

DE）．（10分）

点评：本题利用了等边三角形和等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念求解．