Question

如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（0，6）、B（-2，0）、C（6，0）
（1）求△ABC的外接圆⊙M的圆心M坐标；
（2）若动点P从B点出发，沿着射线BC方向运动，速度为每秒2个单位长度，动点Q从A点出发，沿着射线AC方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒过Q向x轴做垂线，垂足为G．连接MP，MG，△MPG的面积为s，求s与t的函数关系式．
（3）当t为何值时，s的值为4个平方单位？

Answer 1

分析：（1）根据外接圆圆心是中垂线的交点，可得出点M的坐标；
（2）先求出点P和点G重合时t的值，然后分两种情况讨论，①点P在点G左边，②点P在点G右边，分别得出s和t的表达式即可；
（3）根据（2）中的表达式，令s的值为4，解出t的值即可．

解答：解：（1）如图所示：由题意得，OA=OC，
故AC的中垂线的解析式是y=x，BC的中垂线的解析式为x=2，
根据外接圆圆心是三角形三条边中垂线的交点，
故可得点M的坐标为（2，2）．


（2）

由题意得，AQ=t，因为OA=OC，所以∠AQH=45°，
故点Q的横坐标为

2

2

t，
当点P和点G重合时，OP=点Q_横坐标，即2t-2=

2

2

t，
解得：t=

8+ 2

7

；
①当0＜t＜

8+2 2

7

时，

此时PG=OG+OP=2-2t+

2

2

t，
故S_△MPG=

1

2

GP•M_纵坐标=

1

2

[

2

2

t-（2t-2）]=1+

2 -4

4

t（0＜t＜

8+2 2

7

）；
②当t＞

8+2 2

7

时，

此时GP=OP-OG=2t-2-

2

2

t，
故S_△MPG=

1

2

GP•M_纵坐标=

1

2

（2t-2-

2

2

t）=

4- 2

4

t-1（t＞

8+2 2

7

）；
（3）当0＜t＜

8+2 2

7

时，令s=4，即1+

2 -4

4

t=4，
解得：t=-

6 2 +24

7

（不符合题意，舍去）；
②当t＞

8+2 2

7

时，令s=4，即

4- 2

4

t-1=4，
解得：t=

40+10 2

7

；
综上可得：当t=

40+10 2

7

时，s的值为4个平方单位．

点评：此题属于圆的综合题目，涉及了三角形的外接圆、三角形的面积，本题的难点在第二问，关键是求出点P和点G重合时t的值，以此为分界点进行讨论，难度较大，注意细心运算．