Question

16．如图，直径为13的⊙E，经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB（OA＞OB）的长分别是方程x²+kx+60=0的两根．
（1）OA：OB=12：5；
（2）若点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当△BOC∽△BDA时，点D的坐标为（$\frac{10}{3}$，0）．

Answer 1

分析 （1）连接AB，如图，易得AB是⊙E的直径，根据勾股定理可得OA²+OB²=AB²=169，根据根与系数的关系及完全平方公式就可求出k，然后解方程就可解决问题；
（2）过点D作DH⊥AB于H，如图，根据相似三角形的性质可得∠OBC=∠DBA，从而可证得△BOD≌△BHD，则有BH=BO=5，DH=OD．设OD=x，则DH=x，DA=12-x，然后在Rt△DHA中运用勾股定理就可解决问题．

解答 解：连接AB，
∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙E的直径，AB=13，
∴OA²+OB²=AB²=169．
根据根与系数的关系可得：
OA+OB=-k＞0，OA•OB=60，
∴OA²+OB²=（OA+OB）²-2OA•OB=k²-120=169，
∴k=-17，
原方程为x²-17x+60=0，
解得x₁=5，x₂=12，
∴OA=12，OB=5，
∴OA：OB=12：5．
故答案为12：5；

（2）过点D作DH⊥AB于H，如图．
∵△BOC∽△BDA，
∴∠OBC=∠DBA，
在△BOD和△BHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBD=∠HBD}\\{∠BOD=∠BHD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△BOD≌△BHD，
∴BH=BO=5，DH=OD．
设OD=x，则DH=x，DA=12-x．
在Rt△DHA中，根据勾股定理可得，
x²+（13-5）²=（12-x）²，
解得x=$\frac{10}{3}$，
∴点D的坐标为（$\frac{10}{3}$，0）．
故答案为（$\frac{10}{3}$，0）．

点评 本题主要考查了圆周角定理、相似三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解方程等知识，根据角平分线的性质添加辅助线，是解决本题的关键．