Question

如图，AB是⊙O的直径，CB、CE分别切⊙O于点B、D，CE与BA的延长线交于点E，连接OC、OD．
（1）△OBC与△ODC是否全等？

 

（填“是”或“否”）；
（2）已知DE=a，AE=b，BC=c，请你思考后，选用以上适当的数，设计出计算⊙O半径r的一种方案：
①你选用的已知数是

 

；
②写出求解过程．（结果用字母表示）

Answer 1

分析：（1）由切线和切线长定理可知，∠ODC=∠OBC=90°，OD=OB，OC=OC从而得到△OBC≌△ODC（HL）；
（2）可选择a，b，c或其中的两个．求由勾股定理求解或切割线定理求解．

解答：解：（1）△OBC与△ODC全等．
证明：∵CD、CB是⊙O的切线
∴∠ODC=∠OBC=90°
∵OD=OB，OC=OC
∴△OBC≌△ODC（HL）；

（2）①选择a、b、c，或其中2个；
②若选择a、b：由切割线定理：a²=b（b+2r），得r=

a2-b2

2b

若选择a、b、c：
方法一：在Rt△EBC中，由勾股定理：（b+2r）²+c²=（a+c）²，得r=

a2+2ac -b

2

方法二：Rt△ODE∽Rt△CBE，

a

r

=

b+2r

c

，得r=

-b+ b2+8ac

4

方法三：连接AD，可证：AD∥OC，

a

c

=

b

r

，得r=

bc

a

若选择a、c：需综合运用以上的多种方法，得r=

c a2+2ac

a+2c

若选择b、c，则有关系式2r³+br²-bc²=0．

点评：本题考查了切线的概念，切线长定理，勾股定理及全等三角形的判定等知识点的综合运用．