Question

已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，点F为边AB的中点，EF∥CD交BC于点E，则下列结论：
①AC=EF；②BC-AC=2CE；③EF=CE；④EF•AB=AD•BE；
其中一定成立的是（ ）

A．①②④
B．③④
C．①②③
D．①②

Answer 1

【答案】分析：过A作AM∥EF交BC延长线于M，求出AM=2EF，由勾股定理求出AM=AC，得出2EF=AC，即可判断①；根据ME=BE，AC=CM求出BC-AC=2EM-MC=2EF，即可判断②；过F作FN⊥BC于N，由勾股定理求出EF=EN=FN，即可判断③；过D作DQ⊥AC于Q，证△AQD∽△ACB，推出=，推出=，得出=，证△BEF∽△BCD，推出=，即可判断④．
解答：解：
过A作AM∥EF交BC延长线于M，
∵EF∥CD，
∴∠BEF=∠M=∠BCD，
∵∠ACB=90°，CD平分∠ACB，
∴∠BCD=45°，
∴∠M=∠BEF=45°，
∵∠ACM=90°，
∴∠CAM=∠M=45°，
∴MC=AC，
∵AM∥EF，F为AB中点，
∴E为BM中点，
∴AM=2EF，
由勾股定理得：AM=AC，
∴2EF=AC，
AC=EF，∴①正确；
∵ME=BE，AC=CM，
∴BC-AC=2EM-MC=2EF，∴②正确；
如图，过F作FN⊥BC于N，

∵∠BEF=45°，
∴∠NEF=∠NFE=45°，
∴EN=FN，
由勾股定理得：EF=EN=FN，根据已知不能推出CE=EN，∴③错误；
如图

过D作DQ⊥AC于Q，
则∠AQD=∠CQD=∠ACB=90°，DQ∥BC，
∴△AQD∽△ACB，
∴=，
∵∠CQD=90°，∠ACD=45°，
∴∠ACD=∠CDQ=45°，
∴CQ=DQ，由勾股定理得：DQ=CD，
∴=，
∴=，
=，
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∴=，
∴=，
∴EF•AB=AD•BE，∴④正确；
故选A．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形，勾股定理的应用，注意：相似三角形的对应边的比相等，有两个角对应相等的两三角形相似．