Question

【题目】如图：△ABC是圆的内接三角形，∠BAC与∠ABC的角平分线AE、BE相交于点E，延长AE交圆于点D，连接BD、DC，且∠BCA=60°．

（1）求证：△BED为等边三角形；

（2）若∠ADC=30°，⊙O的半径为2，求BD长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）4.

【解析】

（1）根据角平分线的定义、三角形内角和定理得到∠DEB=60°，根据圆周角定理得到∠BDA=∠BCA=60°，根据等边三角形的判定定理证明；

（2）根据圆周角定理得到BC是⊙O的直径，根据勾股定理计算即可.

（1）证明：∵∠BAC与∠ABC的角平分线AE、BE相交于点E，

∴∠EAB=∠CAB，∠EBA=∠CBA，

∴∠AEB=180°﹣（∠EAB+∠EBA）=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=180°﹣（180°﹣∠BCA）=120°，

∴∠DEB=60°，

由圆周角定理得，∠BDA=∠BCA=60°，

∴△BED为等边三角形；

（2）∵∠ADC=30°，∠BDA=60°，

∴∠BDC=90°，

∴BC是⊙O的直径，即BC=4，

∵AE平分∠BAC，

∴=，

∴BD=DC=4．