Question

【题目】已知圆O的直径为4cm，A是圆上一固定点，弦BC的长为2cm，当△ABC为等腰三角形时，其底边上的高为_____．

Answer 1

【答案】或2，或

【解析】

当BC为底边时，如图1，连接AO延长与BC交于F，由全等三角形的判定定理得△ABO≌△ACO，∠BAO=∠CAO，得△ABF≌△ACF，由全等的性质得，BF=CF，由垂径定理得，AF⊥BC，AF为△ABC的高，利用勾股定理可得OF，可得AF的长；

当BC为腰时，如图2，连接BO并延长与AC交于F，由全等三角形的判定定理得△ABO≌△CBO，∠ABO=∠CBO，得△ABF≌△CBF，由全等的性质得，AF=CF，由垂径定理得，BF⊥AC，BF为△ABC的高，由勾股定理逆定理得，△BOC为等腰直角三角形，∠CBO=45°，由等腰三角形的性质得，BF=CF，利用勾股定理可得BF的长；

当如图3所示时，BC为底，利用垂径定理得BF=CF=，利用勾股定理可得AF的长．

解：当BC为底边时，如图1，连接AO延长与BC交于F，

在△ABO与△ACO中，

∴△ABO≌△ACO（SSS），

∴∠BAO＝∠CAO，

在△ABF与△ACF中，

∴△ABF≌△ACF（SAS），

∴BF＝CF＝，

∴AF⊥BC，

∴AF为△ABC的高，

在直角△BOF中，

OF＝＝＝，

∴AF＝2+；

当BC为腰时，如图2，连接BO并延长与AC交于F,

同理可证得：△ABO≌△CBO，

∴∠ABO＝∠CBO，

可得△ABF≌△CBF，

∴AF＝CF，

∴BF⊥AC，BF为△ABC的高，

∵OB2+OC2＝8，BC2＝8，

∴△BOC为等腰直角三角形，

∴∠CBO＝45°，

∴CF＝BF，

设CF＝BF＝x，

则2x2＝8，

解得：x＝2，

∴BF＝2，

当如图3所示时，BC为底，

∵AF⊥BC，

∴BF＝CF＝，

设AF＝x，则OF＝2﹣x，

∴(2﹣x)2+()2＝22，

解得：x＝2+或x＝2-

故答案为：2+或2或2-.