Question

【题目】在Rt△ABC中，∠B＝90°，点F在边BC上，tan∠FAC＝，点E为斜边AC上一动点，ED⊥AB于点D，交AF于点G．

（1）如图1，求证：；

（2）如图1，若AB＝2DE，求证：BF+AD＝2GE；

（3）如图2，若AB＝DE＝4，AD＝3，直接写出FC的长　 　．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）由题意可得DE∥BC，可得△ADG∽△ABF，△AGE∽△AFC，由相似三角形性质可得，，可得结论；

（2）在DB上截取DM＝BF，连接EM交AF于点N，通过证明△ABF∽△EDM，可得∠DME＝∠AFB，∠BAF＝∠DEM，可证∠ANE＝90°，通过证明△AMN∽△EGN，可得，由线段的和差关系，可得结论；

（3）过点F作FM⊥AC于点M，由勾股定理可求AE＝5，由题意可证△ADE∽△ABC，可得＝，可求AC，BC的长，由锐角三角函数可求AM＝2FM，MC＝FM，即可求FM的长，由勾股定理可求FC的长．

（1）∵ED⊥AB，

∴∠ADE＝90°，

∵∠B＝90°，

∴∠B＝∠ADE，

∴DE∥BC，

∴△ADG∽△ABF，△AGE∽△AFC

∴，，

∴．

∴．

（2）如图，在DB上截取DM＝BF，连接EM交AF于点N，

∵AB＝2DE，DM＝BF，

∴＝，且∠ABF＝∠EDM＝90°

∴△ABF∽△EDM

∴∠DME＝∠AFB，∠BAF＝∠DEM

∵∠BAF+∠AFB＝90°

∴∠BAF+∠DME＝90°

∴∠ANE＝90°，

∵tan∠FAC＝＝

∵∠ANM＝∠ANE，∠BAF＝∠DEM

∴△AMN∽△EGN

∴

∴AM＝2GE，且AM＝AD+DM＝AD+BF

∴BF+AD＝2GE；

（3）如图，过点F作FM⊥AC于点M，

∵AD＝3，DE＝4，AD⊥DE

∴AE＝5，

∵DE∥BC

∴△ADE∽△ABC

∴＝

即＝

∴AC＝，BC＝

∵tan∠FAC＝＝

∴AM＝2FM，

∵tan∠C＝

∴

∴MC＝FM

∵AM+MC＝AC

∴2FM+FM＝

∴FM＝2，

∴MC＝

∴FC＝＝

故答案为：