Question

如图1，已知E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形（提示：可连接AC或BD）；
（2）在电脑上用适当的应用程序画出图1，然后用鼠标拖动点D，当点D在原四边形ABCD的内部，在原四边形ABCD的外部时，图1依次变为图2、图3．图2、图3中四边形EFGH还是平行四边形吗？选择其中之一说明理由．

Answer 1

（1）证明：如图1，连接AC，
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，GH是△DAC的中位线，
∴EF∥AC，；HG∥AC，．
∴EFGH，
∴四边形EFGH是平行四边形；

（2）解：四边形EFGH均为平行四边形．
证明（以图2为例）：连接AC．
在△BAC中，∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF∥AC，；
在△DAC中，∵G、H分别为AD、CD的中点，∴HG∥AC，．
∴EF平行且等于GH．
∴四边形EFGH是平行四边形；
分析：（1）如图1，连接AC，根据三角形中位线定理证得四边形EFGH的对边EF与GH平行且相等，然后由平行四边形的判定定理推得结论；
（2）四边形EFGH均为平行四边形．以图2为例进行证明．连接AC．证明思路同（1）．
点评：本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理．三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．