Question

已知：如图，⊙M交x轴正半轴于A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，交y轴正半轴于C（0，y₁）、D（0，y₂）（y₁＜y₂）两点．
（1）求证：∠CAO=∠DAM；
（2）若x₁、x₂是方程x²-px+q=0的两个根，y₁、y₂是方程y²-（q-1）y+（p-1）=0的两个根，且x₁+y₁+x₂+y₂=12，求p和q的值；
（3）过点A分别作DM、CM的垂线AE、AF，垂足分别为点E和F，根据（2），求证：△AEM≌△MFA．

Answer 1

【答案】分析：（1）延长AM交⊙M于点P，连接DP，利用圆内接四边形的性质，可得出结论；
（2）利用根与系数的关系可得：x₁+x₂=p，x₁•x₂=q；y₁+y₂=q-1，y_l•y₂=p-1，结合x₁+y₁+x₂+y₂=12，可得出一个p与q的关系式，再由切割线定理的推论也可得出一个q与p的关系式，联立求解可得出p、q的值．
（3）先求出各点的坐标，继而得出⊙M的半径，过点A分别作DM、CM的垂线AE、AF垂足分别为点E和F，延长DM交⊙M于点Q，连接AQ，分别求出EM、FA的长度，继而利用HL 可判定两直角三角形的全等．
解答：证明：（1）延长AM交⊙M于点P，连接DP，

由圆内接四边形的性质定理得：∠APD=∠ACO，
而∠CAO=90°-∠ACO，∠DAM=90°-∠APD，
∴∠CAO=∠DAM．

（2）由条件知：x₁+x₂=p，x₁•x₂=q；y₁+y₂=q-1，y_l•y₂=p-1，
∵x₁+y₁+x₂+y₂=12，
∴p•q-1=12 ①，
在⊙M中，由切割线定理的推论得：x₁x₂=y₁y₂，
即q=p-1 ②，
联立①②解得：p=7，q=6．

（3）证明：由（2）知A（1，0）、B（6，0），C（0，2），D（0，3），
则可求得⊙M的半径长为，
过点A分别作DM、CM的垂线AE、AF垂足分别为点E和F，延长DM交⊙M于点Q，连接AQ，

则易得△ADE∽△QDA，
∴=，即DE=，
而AD²=OD²+OA²=9+1=10，DQ=2×=5，
∴DE==，EM=DM-DE=，
同理可得：CF==，FA=AC²-CF²=，
∴EM=FA，
在Rt△AEM和Rt△MFA中，．
∴Rt△AEM≌Rt△MFA（HL）．
点评：本题考查了圆的综合题，涉及了根与系数的关系、圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解答此类题目要求同学们熟练掌握各定理的内容，并能将所学知识点融会贯通．