Question

【题目】如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一点，连接PA，PC.

（1）证明：∠PAB=∠PCB;

（2）在BC上截取一点E，连接PE，使得PE=PC，连接AE，判断△PAE的形状，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）△PAE是等腰直角三角形. 理由见解析.

【解析】（1）根据正方形的性质得AB=CB，∠ABD=∠CBD，又知BP=BP，即可证△ABP≌△CBP，于是得到PA=PC，∠PAB=∠PCB；（2）根据PE=PC得到∠PEC=∠PCB，进而求出∠PAB=∠PEC，由E是BC上一点，∠PEB+∠PEC=180°求得∠PAB+∠PEB=180°，进而求出∠APE=90°，再根据PA=PC，PE=PC，求出PA=PE，于是证得△PAE是等腰直角三角形．

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴BA=BC，∠ABP=∠CBP ，

又∵BP=BP，

∴△ABP≌△CBP，

∴∠PAB=∠PCB，

（2）△PAE是等腰直角三角形. 理由如下：

∵PE=PC，

∴∠PEC=∠PCB，

由（1）∠PAB=∠PCB，

∴∠PAB=∠PEC ，

∵∠PEC+∠PEB=180°，

∴∠PAB+∠PEB=18，

∵∠PAB+∠ABE+∠PEB+∠APE=360°，

∠ABE=90°，

∴∠APE=90°，

由（1）△ABP≌△CBP得PA=PC，

∵PE=PC，

∴PA= PE，

∴△PAE是等腰直角三角形.

“点睛”本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定定理，此题难度不大．