Question

【题目】请阅读下列材料，并完成相应的任务．

在数学中，当问题的条件不够时间，常添加辅助线构成新图形，形成新关系，建立已知与未知的桥梁，从而把原问题转化为易于解决的问题．在著名美籍匈牙利数学教波利亚所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子：试作一个三角形，使它的三边长分别是各条中线长的三分之一，解决这个问题的步骤如下：

第一步，如图1，己知的三条中线，和相交于点，则有．

下面是该结论的部分证明过程：

证明：如图1，过点作的平分线，交的延长线于点，则．

又，

∴．

∴．

∵点是的中点，

∴．

……

第二步，同理可以证明：．

第三步，如图2，取BM的中点，连接.则的三边长分别是各条中线长的三分之一．

任务：（1）请在上面第一步中证明过程的基础上完成对结论的证明；

（2）请完成第三步的结论的证明；

（3）请直接写出图2中与的面积比：_______．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．

【解析】

（1）证明即可得到BM=GC，再由即可解答；

（2）根据得出，再得出，根据中位线的性质得出，进而得到即可；

（3）根据三角形中线将三角形的面积平分即可推出．

（1）解：∵，

∴.

∵是边上的中线，

∴.

在和中，

∴（ASA），

∴BM=GC，

∴.

（2）证明：∵，

∴.

∵是的中点，

∴

∵，

∴

∵是的中点，

∴是的中位线，

则，又，

∴.

则的三边长分别是各条中线长的三分之一．

（3）∵Q是BM 的中点，

∴S△BMD=2S△QMD，

∵AM=2MD

∴S△ABM=2S△BMD

∴S△ABD=3S△BMD=6S△QMD，

∵点D是BC中点，

∴S△ABC=2S△ABD=12 S△QMD，

故，

故答案为：．