Question

如图，在△ABC中，AB=AC，cosB=

1

3

，BC=2，点D、E、F分别在AC、AB、BC边上，△BEF沿直线EF翻折后与△DEF重合．
（1）试问△DFC是否有可能与△ABC相似，如有可能，请求出CD的长；如不可能，请说明理由；
（2）当点D为AC的中点时，求BF的长；
（3）设CD=x，BF=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域．

Answer 1

分析：（1）分△DFC∽△ABC和△DFC∽△BAC两种情况讨论求出CD的长；
（2）过点D作DG⊥BC，垂足为G，根据翻折变换的性质、三角函数和勾股定理即可求出BF的长；
（3）与（2）同理可得y与x的函数解析式．

解答：解：过点A作AH⊥BC，垂足为H，
∵AB=AC，∴BH=

1

2

BC=1，
∴AC=AB=

BH

cosB

=3，

（1）△DFC有可能与△ABC相似．
设CD=x，
①当△DFC∽△ABC时，∠DFC=∠B=∠C，
∴BF=DF=CD=x，CF=2-x，

CD

CA

=

CF

CB

，

x

3

=

2-x

2

，x=

6

5

，
②当△DFC∽△BAC时，∠FDC=∠B=∠C，
∴BF=DF=CF=1，

CD

CB

=

CF

CA

，

x

1

=

2

3

，x=

2

3

，
∴CD的长为

6

5

或

2

3

；

（2）过点D作DG⊥BC，垂足为G，
∴CD=

1

2

AC=

3

2

，
∴CG=CD•cosC=

3

2

×

1

3

=

1

2

，
DG=

CD2-CG2

=

( 3 2 )2-( 1 2 )2

=

2

，
设BF=y，则DF=y，FG=2-y-

1

2

=

3

2

-y，
∵DG²+FG²=DF²，
∴(

2

)2+(

3

2

-y)2=y2，
∴y=

17

12

；

（3）与（2）同理可得：CG=

1

3

x，DG=

2 2

3

x，
FG=2-

1

3

x-y，
(

2 2

3

x)2+(2-

1

3

x-y)2=y2，
∴函数解析式为：y=

3x2-4x+12

12-2x

（0＜x＜2）．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、翻折变换（折叠问题）和解直角三角形，