Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，以直线为对称轴的抛物线与直线交于，两点，与轴交于，直线与轴交于点.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设直线与抛物线的对称轴的交点为，是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若，且与的面积相等，求点的坐标；

（3）若在轴上有且只有一点，使，求的值.

Answer 1

【答案】（1）.；（2）点坐标为；.（3）.

【解析】（1）根据已知列出方程组求解即可；

（2）作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，求出直线l的解析式，再分两种情况分别求出G点坐标即可；

（3）根据题意分析得出以AB为直径的圆与x轴只有一个交点，且P为切点，P为MN的中点，运用三角形相似建立等量关系列出方程求解即可．

（1）由题可得：解得，，.

二次函数解析式为：.

（2）作轴，轴，垂足分别为，则.

，，，

，解得，，.

同理，.

，

①（在下方），，

，即，.

，，.

②在上方时，直线与关于对称.

，，.

，，.

综上所述，点坐标为；.

（3）由题意可得：.

，，，即.

，，.

设的中点为，

点有且只有一个，以为直径的圆与轴只有一个交点，且为切点.

轴，为的中点，.

，，，

，即，.

，.