Question

【题目】如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．

（1）求证：BD＝CD；

（2）不在原图添加字母和线段，对△ABC只加一个条件使得四边形AFBD是菱形，写出添加条件并说明理由.

Answer 1

【答案】(1)

【解析】

（1）由AF与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再一对对顶角相等，且由E为AD的中点，得到AE=DE，利用AAS得到三角形AFE与三角形DCE全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；

（2）根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”进行判断即可.

（1）∵AF∥BC

∴∠AFE＝∠DCE

∵E是AD的中点

∴AE＝DE

在△AFE和△DCE中，

∴△AFE≌△DCE（AAS），

∴AF＝CD，

∵AF＝BD

∴BD＝CD；

（2）当△ABC满足：∠BAC＝90°时，四边形AFBD菱形，

理由如下：

∵AF∥BD，AF＝BD，

∴四边形AFBD是平行四边形，

∵∠BAC＝90°，BD＝CD，

∴BD＝AD，

∴平行四边形AFBD是菱形．