Question

【题目】尺规作图与说理（要求保留作图痕迹，不写作法．）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

（1）过点C作AB的垂线CD，交AB于点D；

（2）作∠ABC的平分线BE交AC于点E，交CD于点F；

（3）观察线段CE与CF有何数量关系？并说明理由．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) CE＝CF，理由见解析

【解析】

（1）以C为圆心，以一定长度为半径，使弧与AB交于两点，再作这两点之间线段的中垂线即可；

（2）根据角平分线的画法，用尺规作图即可；

（3）根据等角的余角相等即可证出∠BFD＝∠CEB，再根据对顶角相等可得：∠BFD＝∠CFE，从而得出：∠CFE＝∠CEF，最后根据等角对等边即可证出：CE＝CF.

（1）以C为圆心，以一定长度为半径，使弧与边AB交于两点，再作这两点之间线段的中垂线，如图所示，CD即为所求；

（2）以B为圆心，以任意长度为半径，作弧，分别交BA、BC于两点，再分别以这两点为圆心，以大于这两点之间的距离为半径作弧，两弧交于一点，如图所示，BE即为所求；

（3）CE＝CF，

理由如下：∵CD⊥AB，

∴∠FDB＝90°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠CBF＝∠DBF，

∵∠DFB+∠DBF＝∠CEB+∠CBF＝90°，

∴∠BFD＝∠CEB，

∵∠BFD＝∠CFE，

∴∠CFE＝∠CEF，

∴CE＝CF．