Question

已知实数a、b满足条件|a-b|=

b

a

＜1，化简代数式（

1

a

-

1

b

）

(a-b-1)2

，将结果表示成只含有字母a的形式．

Answer 1

分析：由已知可得a-b-1=（a-b）-1＜0，据此把代数式化简，又因为要将结果表示成只含有字母a的形式，根据
|a-b|=

b

a

，分情况讨论，得出用a表示b的代数式，代入化简即可．

解答：解：∵|a-b|=

b

a

＜1，
∴a、b同号，且a≠0，b≠0，
∴a-b-1=（a-b）-1＜0，
∴（

1

a

-

1

b

）

(a-b-1)2

=（

1

a

-

1

b

）[1-（a-b）]=

b-a

ab

[1-(a-b)]．
①若a、b同为正数，由

b

a

＜1，得a＞b，
∴a-b=

b

a

，a²-ab=b，解得b=

a2

a+1

，
∴（

1

a

-

1

b

）

(a-b-1)2

=

b-a

ab

[1-(a-b)]=

- b a

a ab

(1-

b

a

)
=-

1

a2

•

a-b

a

=-

b

a4

=-

1

a2(a+1)

；
②若a、b同为负数，由

b

a

＜1，得b＞a，
∴a-b=-

b

a

，a²-ab=-b，解得b=

a2

a-1

，
∴（

1

a

-

1

b

）

(a-b-1)2

=

b-a

ab

[1-(a-b)]=

b

a ab

(1+

b

a

)
=

a+b

a3

=

a+ a2 a-1

a3

=

2a-1

a2(a-1)

．
综上所述，当a、b同为正数时，原式的结果为-

1

a2(a+1)

；当a、b同为负数时，原式的结果为

2a-1

a2(a-1)

．

点评：此题考查二次根式的化简求值，利用了

a2

=a（a≥0）的性质，要充分利用已知条件，难度较大．