两块完全相同的直角三角板ABC和DEF如图1所示放置.点C.F重合.且BC.DF在一条直线上.其中AC=DF=4.BC=EF=3．固定Rt△ABC不动.让Rt△DEF沿CB向左平移.直到点F和点B重合为止．设FC=x.两个三角形重叠阴影部分的面积为y．(1)如图2.求当x=时.y的值是多少?(2)如图3.当点E移动到AB上时.求x.y的值,(3)求y与x之间的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（2007•白银）两块完全相同的直角三角板ABC和DEF如图1所示放置，点C、F重合，且BC、DF在一条直线上，其中AC=DF=4，BC=EF=3．固定Rt△ABC不动，让Rt△DEF沿CB向左平移，直到点F和点B重合为止．设FC=x，两个三角形重叠阴影部分的面积为y．
（1）如图2，求当x=

时，y的值是多少？
（2）如图3，当点E移动到AB上时，求x、y的值；
（3）求y与x之间的函数关系式．

【答案】分析：（1）当x=

时，E在△ABC内部，设DE交AC于G，那么重合部分的面积就是梯形EGCF的面积，可在直角三角形DCG中，根据∠D的正切值求出CG的长，然后根据梯形的面积公式即可得出重合部分的面积即y的值．
（2）当E在AB上时，在直角三角形BEF中，根据∠B的正切值和EF的长求出BF的值，进而可求CF即x的值，求y值可仿照（1）的方法进行求解．
（3）本题要分两种情况进行讨论：
①当E在AB左侧（包括E在AB上）时，重合部分是个梯形，其面积可参照（1）的方法进行求解．
②当E在AB右侧时，重合部分是个五边形，可用梯形EGCF的面积-△EHQ的面积（设EF交AB于Q，ED交AB于H）来求重合部分的面积，据此可得出y、x的函数关系式．
解答：

解：（1）如图1：AB=DE=5，∵FC=x=

．∴DC=DF-FC=

．
∵tanD=

，∴GC=

．
∴y=

（EF+GC）•FC=

．

（2）当点E运动到AB上时，如图2；
∵tanB=

，∴BF=

．
∴x=FC=BC-BF=

．
∵DC=DF-FC=

，

；
∴GC=

．
∴y=

（EF+GC）•FC=

．

（3）本题分两种情况：
①当0＜x≤

时，如图3；DC=4-x；
∵tanD=

，∴GC=3-

x．
∴y=

（EF+GC）•FC=-

x²+3x．
②当

＜x≤3时；如图4；y=S_梯形EFCG-S_△EHQ．
由①知，梯形EFCG的面积为-

x²+3x．
∵tanB=

，BF=3-x，
∴QF=4-

x．
∴EQ=3-QF=

x-1．
∵S_△DEF=6，Rt△EHQ∽Rt△EFD．
∴S_△EHQ：S_△EFD=（EQ：ED）²；
∴S_△EHQ=

（

x-1）²；
∴y=S_梯形EFCG-S_△EHQ=-

x²+3x-

（

x-1）²=-

x²+

．
点评：本题考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法以及二次函数的综合应用等知识点．注意可用类比的方法求解多个类似题型．

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