Question

【题目】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；

（3）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3，则顶点D（2，﹣1）；（2）P（，﹣）；（3）H，而点A（1，0），则AH＝，即：AQ+QC的最小值为.

【解析】

将坐标（1，0），B（3，0）代入计算即可得出抛物线的解析式，即可计算出D的坐标.

将点B、C的坐标代入一次函数表达式计算，设点P（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3），求出x的值即可.

（3）存在，过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，过点A作AH⊥CH，垂足为H，

则HQ＝CQ，Q+QC最小值＝AQ+HQ＝AH，求出k值，再将A的坐标代入计算即可解答.

（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），即：3a＝3，解得：a＝1，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，则顶点D（2，﹣1）；

（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：

直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，过点P作y轴的平行线交BC于点H，

设点P（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3），

则S△PBC＝PH×OB＝（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），

∵﹣＜0，故S△PBC有最大值，此时x＝，故点P（，﹣）；

（3）存在，理由：

如上图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，过点A作AH⊥CH，垂足为H，

则HQ＝CQ，Q+QC最小值＝AQ+HQ＝AH，

直线HC所在表达式中的k值为，直线HC的表达式为：y＝x+3…①

则直线AH所在表达式中的k值为﹣ ，

则直线AH的表达式为：y＝﹣x+s，将点A的坐标代入上式并解得：

则直线AH的表达式为：y＝﹣x+…②，

联立①②并解得：x＝，

故点H（，），而点A（1，0），则AH＝，即：AQ+QC的最小值为.