Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-2x²+4x+6与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于C点，顶点为D．过点C、D的直线与x轴交于E点，以OE为直径画⊙O₁，交直线CD于P、E两点．
（1）求E点的坐标；
（2）连接PO₁、PA．求证：△BCD∽△PO₁A；
（3）①以点O₂（0，m）为圆心画⊙O₂，使得⊙O₂与⊙O₁相切，当⊙O₂经过点C时，求实数m的值；
②在①的情形下，试在坐标轴上找一点O₃，以O₃为圆心画⊙O₃，使得⊙O₃与⊙O₁、⊙O₂同时相切．直接写出满足条件的点O₃的坐标（不需写出计算过程）．

Answer 1

分析：（1）运用配方法求出二次函数顶点坐标与图象与y轴的交点坐标，再求出直线CD的解析式，即可得出E点的坐标；
（2）分别求出△BCD与△PO₁A三边的比值得出两三角形相似；
（3）根据当⊙O₂与⊙O₁外切时O₁O₂=r₁+r₂，以及当⊙O₂与⊙O₁内切时O₁O₂=|r₁-r₂|，分别求出符合要求的答案即可．

解答：解：（1）y=-2x²+4x+6=-2（x-1）²+8，
∴C（0，6），D（1，8），
设直线CD：y=kx+b（k≠0）将C、D代入得

b=6 8=k+6

，
解得

k=2 b=6

，
∴CD直线解析式：y=2x+6，当y=0，x=-3，
∴E（-3，0）；

（2）令y=0得-2x²+4x+6=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
又∵O（0，0）、E（-3，0），
∴以OE为直径的圆心O1(-

3

2

，0)、半径r1=

3

2

．
设P（t，2t+6），
由PO1=

3

2

得

(t+ 3 2 )2+(2t+6)2

=

3

2

，
解得：t ₁=-

12

5

，t ₂=-3（舍），
∴P(-

12

5

，

6

5

)，
∴PA=

85

5

，AO1=

1

2

，
又DC=

5

，CB=3

5

，DB=2

17

，
∴

DC

AO1

=

CB

PO1

=

DB

PA

=2

5

，
∴△BCD∽△PO₁A；

（3）①O1(-

3

2

，0)，r1=

3

2

，O₂（0，m）
据题意，显然点O₂在点C下方r₂=O₂C=6-m，
当⊙O₂与⊙O₁外切时O₁O₂=r₁+r₂，
代入得

( 3 2 )2+m2

=

3

2

+(6-m)，
解得：m1=

18

5

，m2=2（舍），
当⊙O₂与⊙O₁内切时O₁O₂=|r₁-r₂|，
代入得

( 3 2 )2+m2

=|

3

2

-(6-m)|，
解得：m1=2，m2=

18

5

（舍），
∴m1=

18

5

，m2=2，

②当⊙O₃与⊙O₂圆心重合时O3(0，

18

5

)，O₃（0，2），
当⊙O₁与⊙O₂外切时，O3(

3

2

，0)，O3(0，

14

15

)，O3(

21

2

，0)，O3(0，-

10

7

)；
当⊙O₁与⊙O₂内切时O3(-

45

14

，0)．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的性质与判定，还用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．