Question

【题目】在现实生活中，我们会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为：1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”ABCD中，P为DC边上一定点，且CP=BC，如图所示．

（1）如图①，求证：BA=BP；

（2）如图②，点Q在DC上，且DQ=CP，若G为BC边上一动点，当△AGQ的周长最小时，求的值；

（3）如图③，已知AD=1，在（2）的条件下，连接AG并延长交DC的延长线于点F，连接BF，T为BF的中点，M、N分别为线段PF与AB上的动点，且始终保持PM=BN，请证明：△MNT的面积S为定值，并求出这个定值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）定值为：．

【解析】

试题分析：（1）如图①中，设AD=BC=a，则AB=CD=a．通过计算得出AB=BP=a，由此即可证明；

（2）如图②中，作Q关于BC的对称点Q′，连接AQ′交BC于G，此时△AQG的周长最小．设AD=BC=QD=a，则AB=CD=a，可得CQ=CQ′=a﹣a，由CQ′∥AB，推出的值；

（3）如图③中，作TH∥AB交NM于H，交BC于K．由S△MNT=THCK+THBK=HT（KC+KB）=HTBC=HT，利用梯形的中位线定理求出HT即可解决问题；

试题解析：（1）证明：如图①中，设AD=BC=a，则AB=CD=a．

∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，∵PC=AD=BC=a，∴PB==a，∴BA=BP．

（2）解：如图②中，作Q关于BC的对称点Q′，连接AQ′交BC于G，此时△AQG的周长最小．

设AD=BC=QD=a，则AB=CD=a，∴CQ=CQ′=a﹣a，∵CQ′∥AB，∴ = = =．

（3）证明：如图③中，作TH∥AB交NM于H，交BC于K．

由（2）可知，AD=BC=1，AB=CD=，DP=CF=﹣1，∵S△MNT=THCK+THBK=HT（KC+KB）=HTBC=HT，∵TH∥AB∥FM，TF=TB，∴HM=HN，∴HT=（FM+BN），∵BN=PM，∴HT=（FM+PM）=PF=（1+﹣1）=，∴S△MNT=HT==定值．